Takatani Note

上三角行列

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この記事では, 任意の複素正方行列が三角化できることを証明します。

約束：
$M_n(\C)$ を $n$ 次複素正方行列の集合とする.
$\Phi_A(x)$ を正方行列 $A$ の固有多項式とする.
$I$ を単位行列とする.

定義

定義
$A \in M_n(\C)$ が上三角行列(upper triangular matrix)であるとは, $$ \m{ a_{11} & \cdots & a_{1n} \cr & \ddots & \vdots \cr O & & a_{nn} } $$ という形のとき, すなわち, $$ a_{ij}=0\ \ \ \ \ (i>j) $$ を満たすことである.

例
$a,b,c,d,e,f\in \C$ に対して, $$ A= \m{ a & b & c \cr 0 & d & e \cr 0 & 0 & f} $$ は上三角行列である.

定義
正方行列 $A\in M_n(\C)$ が三角化可能(triangulizable)であるとは, ある正則行列 $P \in M_n(\C)$ が存在して $P^{-1}AP$ が上三角行列になることである. また, $P^{-1}AP$ を $A$ の三角化という.

性質

定理 (三角化定理)
任意の複素正方行列は三角化可能である

[証明]  $n$ 次行列 $A \in M_n(\C)$ を任意にとり, $n$ に関する帰納法で示す. $n=1$ の場合は明らかに成り立つから, $n\geq 2$ とし, $n-1$ 次の正方行列に対して定理は正しいと仮定する.

まず $n=3$ の場合を示す. $A$ の固有値の一つを $\a_1$ とし, $\a_1$ に属する固有ベクトルを $\x_1$ とする. 次に $\x_1,\x_2,\x_3$ が基底となるようにする. (※$\x_2,\x_3$ が $A$ の固有ベクトルとは限らない.)
このとき, $$\eq{ A\x_2 & =c_1\x_1 + c_2\x_2 + c_3\x_3 \\[2pt] A\x_3 & =d_1\x_1 + d_2\x_2 + d_3\x_3 }$$ と表せる. さらに $\x_1,\x_2,\x_3$ を列ベクトルとする正則行列を $X$ とする. このとき, $$\eq{ AX & =A(\x_1\ \ \x_2\ \ \x_3) \\ & =(A\x_1\ \ A\x_2\ \ A\x_3) \\ & =(\a_1\x_1\ \ c_1\x_1 + c_2\x_2 + c_3\x_3 \ \ d_1\x_1 + d_2\x_2 + d_3\x_3) \\ & =(\x_1\ \ \x_2\ \ \x_3) \m{ \a_1 & c_1 & d_1 \cr 0 & c_2 & d_2 \cr 0 & c_3 & d_3 } }$$ ここで, $$ B= \m{ c_2 & d_2 \cr c_3 & d_3 } $$ とおけば, $$ X^{-1}AX= \left( \begin{array}{c:c} \a & {\begin{array}{cc} c_1 & d_1 \end{array}} \\ \hdashline {\begin{array}{cc} 0 \\ 0 \end{array}} & B \end{array} \right) $$ と書ける. $B$ は $2$ 次行列なので, 帰納法の仮定により, ある正則行列 $Y \in M_{2}(\C)$ が存在して, $$ Y^{-1}BY= \m{ * & * \cr 0 & * } $$ となる. ここで $$ Z= \left( \begin{array}{c:c} 1 & {\begin{array}{cc} 0 & 0 \end{array}} \\ \hdashline {\begin{array}{cc} 0 \\ 0 \end{array}} & Y \end{array} \right) $$ とおけば, $\det(Z)=\det(Y)\neq 0$ なので, $Z$ は正則行列である. ゆえに $P=XZ$ とおけば, $P$ も正則行列である. $$\eq{ P^{-1}AP & =Z^{-1}X^{-1}AXZ \\ & = Z^{-1} \left( \begin{array}{c:c} \a & {\begin{array}{cc} c_1 & d_1 \end{array}} \\ \hdashline {\begin{array}{cc} 0 \\ 0 \end{array}} & B \end{array} \right) Z \\ & = \left( \begin{array}{c:c} 1 & {\begin{array}{cc} 0 & 0 \end{array}} \\ \hdashline {\begin{array}{cc} 0 \\ 0 \end{array}} & Y^{-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c:c} \a & {\begin{array}{cc} c_1 & d_1 \end{array}} \\ \hdashline {\begin{array}{cc} 0 \\ 0 \end{array}} & B \end{array} \right) \left( \begin{array}{c:c} 1 & {\begin{array}{cc} 0 & 0 \end{array}} \\ \hdashline {\begin{array}{cc} 0 \\ 0 \end{array}} & Y \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{c:cc} \a & * & * \\ \hdashline 0 & * & * \\ 0 & 0 & * \end{array} \right) . }$$ これで $A$ を $P$ によって三角化できた.
$n=3$ に限らず一般の場合も同様に示せる.

三角化定理は多くの場面で用いられる.
とくに、ケーリー・ハミルトンの定理の証明への応用は重要である.

【付録】ユニタリ三角化

定理 (ユニタリ三角化定理)
任意の複素正方行列 $A\in M_n(\C)$ に対して, あるユニタリ行列 $U$ が存在して $U^{-1}AU$ は上三角行列になる.

[証明]  上の三角化定理の証明において, $\x_1,\x_2,\x_3$ が「正規直交基底」となるようにすれば, 後は上と同様にして示せる.

三角化定理の応用

三角化定理は多くの応用がある. 例えば, 次の定理の証明で使われる.