ケーリー・ハミルトンの定理

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この記事では, ケーリー・ハミルトンの定理の証明と応用について説明する.

約束：
$M_n(\C)$ を $n$ 次複素正方行列の集合とする.
$\Phi_A(x)$ を正方行列 $A$ の固有多項式とする.
$I$ を単位行列とする.

ケーリー・ハミルトンの定理の証明

準備として次の補題を示す.

補題
$A,B\in M_n(\C)$ が相似ならば, $$ \Phi_A(A)=O \iff \Phi_B(B)=O. $$

[証明]  $A,B\in M_n(\C)$ は相似なので, ある可逆行列 $P$ が存在して, $B=P^{-1}AP$ となる. 固有多項式の性質 $\Phi_A(x)=\Phi_B(x)$ により, $$ \Phi_A(B)=\Phi_B(B). $$ $(P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP$ により, $$ \Phi_A(B)=\Phi_A(P^{-1}AP)=P^{-1}\Phi_A(A)P. $$ したがって $$ \Phi_A(A)=O \iff \Phi_B(B)=O. $$

この補題を使って次を示す.

定理(Cayley-Hamilton)
任意の $A\in M_n(\C)$ に対して $\Phi_A(A)=O.$

[証明]  簡単のため, $n=3$ の場合だけを示す.
三角化定理により, $A$ と相似な上三角行列 $B$ が存在する. 補題より, $\Phi_B(B)=O$ ならば $\Phi_A(A)=O$ である. ゆえに 最初から $A$ は上三角行列と仮定してもよい. すると, $$ A= \m{\a & * & * \cr 0 &\b & * \cr 0 & 0 &\g } $$ と表せる. このとき $A$ の固有多項式は $$ \Phi_A(x)=(x-\a)(x-\b)(x-\g) $$ である. $$ \bm{x}=\m{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \C^3 $$ を任意にとる. $\Phi_A(A)\bm{x}=\0$ を示せば主張が示せる. $$\eq{ \Phi_A(A)\x & =(A-\a I)(A-\b I)(A-\g I)\x \\[2pt] & =(A-\a I)(A-\b I) \m{\a-\g & * & * \cr 0 &\b-\g & * \cr 0 & 0 & 0 } \m{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \\[2pt] & =(A-\a I)(A-\b I) \m{* \\ * \\ 0} \\[2pt] & =(A-\a I) \m{\a-\b & * & * \cr 0 & 0 & * \cr 0 & 0 & \g-\b } \m{* \\ * \\ 0} \\[2pt] & =(A-\a I) \m{* \\ 0 \\ 0} \\[2pt] & = \m{ 0 & * & * \cr 0 &\b-\a & * \cr 0 & 0 &\g-\a } \m{* \\ 0 \\ 0} \\[2pt] & =\m{0 \\ 0 \\ 0}=\0. }$$ ゆえに $\Phi_A(A)=O.$

応用

ケーリー・ハミルトンの定理にはいくつもの応用があるが, 特に大事なのが以下の定理の証明への応用である.

定理
固有多項式は最小多項式で割り切れる.

[証明]  行列の最小多項式を参照.

定理 (分解定理)
$A\in M_n(\C)$ とし, $\a_1,\cd,\a_s$ を $A$ の相異なる固有値全体とすると, $$ \C^n=\W(\a_1)\op \W(\a_2)\op \cd \op \W(\a_s). $$

[証明]  広義固有空間を参照.

定理
$N \in M_n(\C)$ に対し, 次の３つは互いに同値である：
(1) $N$ はべき零行列.
(2) 固有値は $0$ のみである.
(3) $\Phi_N(x)=x^n.$

[証明]  べき零行列を参照.