エルミート行列

$ $

この記事では、エルミート行列の性質を証明します。

定義

定義
$A\in M_n(\C)$ がエルミート行列(Hermitian matrix)であるとは, $A^*=A$ を満たすことである.

例
$\m{ 2 & i \cr -i & 1 }$ はエルミート行列である.

例
$\m{ 1 & 0 \cr 0 & i }$ はエルミート行列でない.

定理
エルミート行列の固有値はすべて実数である.

▼ 証明: [証明] $A\x=\l \x\ (\x\neq 0)$ ならば, $$\eq{ \l(\x,\x) & =(\l \x,\x)=(A\x,\x)=(\x,A^*\x) \\ & =(\x,A\x)=(\x,\l \x)=\ol{\l}(\x,\x). }$$ 従って $(\l-\ol{\l})(\x,\x)=0.\ $ ゆえに $\l=\ol{\l}.\ $ よって $\l\in \R.$

定理
エルミート行列の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する.

▼ 証明: [証明] $A\x=\l \x,\ A\y=\mu \y,\ $ $\l\neq \mu$ とする. $$\eq{ \l(\x,\y) & =(\l \x,\y)=(A\x,\y)=(\x,A^*\y) \\ & =(\x,A\y)=(\x,\mu \y)=\ol{\mu}(\x,\y)=\mu(\x,\y). }$$ $$ \th (\l-\mu)(\x,\y)=0. $$ $$ \th (\x,\y)=0. $$

定理
$A\in M_n(\C)$ をエルミート行列とする. このとき, あるユニタリ行列 $U \in M_n(\C)$ が存在して, $U^{-1}AU$ は対角行列になる.

▼ 証明: [証明] まず $n=3$ の場合を示す. 三角化定理(参照：行列の三角化)から, あるユニタリ行列 $U$ によって $$ B:=U^*AU= \m{ b_{11} & b_{12} & b_{13} \cr 0 & b_{22} & b_{23} \cr 0 & 0 & b_{33} } $$ という上三角行列ができる. ($U^*=U^{-1}$ に注意.) ゆえに $$ B^*=U^*A^*U= \m{ \ol{b}_{11} & 0 & 0 \cr \ol{b}_{12} & \ol{b}_{22} & 0 \cr \ol{b}_{13} & \ol{b}_{23} & \ol{b}_{33} } $$ という下三角行列ができる. $A=A^*$ なので $B=B^*.$ 行列の各成分を比較すれば $$\eq{ & b_{ii}=\ol{b}_{ii} &\ \ \ (i=1,2,3), \\ & b_{ij}=0 &\ \ \ (i\neq j). }$$ よって $B$ は対角行列である. 一般の場合も同様に示せる.

この定理は, $A$ がエルミートに限らず正規にまで一般化できる.
証明は正規行列【性質と証明】参照.