正規行列【証明】
$ \def\no#1{\|#1\|} $
定義
定義
$A\in M_n(\C)$ が正規行列(normal matrix)であるとは,
$A^*A=AA^*$ を満たすことである.
例
ユニタリ行列, エルミート行列, 歪エルミート行列はすべて正規行列である.
しかし, 逆は成り立たない：
例
次の行列 $A\in M_n(\C)$ は正規だが,
ユニタリでもエルミートでも歪エルミートでもない.
$$ A=
\m{ 2 & 0
\cr 0 & i }
,\ \ \ \ \ A^*A=AA^*=
\m{ 4 & 0
\cr 0 & 1 }. $$
性質
定理
$A\in M_n(\C)$ に対し, 次の３つは互いに同値である：
(1) $A$ は正規行列.
(2) $(Ax,Ay)=(A^*x,A^*y) \ \ \ (\all x,y\in \C^n)$
(3) $\no{Ax}=\no{A^*x} \ \ \ \ \ (\all x\in \C^n)$
[証明]
(1) $\goo$ (2)：$A^*A=AA^*$ により,
$$ (Ax,Ay)=(x,A^*Ay)=(x,AA^*y)=(A^*x,A^*y). $$
(2) $\goo$ (3)：$y=x$ とすればよい.
(3) $\goo$ (1)：
$$ (A^*Ax,x)=(Ax,Ax)=\no{Ax}^2=\no{A^*x}^2
=(A^*x,A^*x)=(AA^*x,x). $$
$x\in \C^n$ は任意なので $A^*A=AA^*.$
定理
$A\in M_n(\C)$ が正規行列ならば,
$$ \Ker A = \Ker A^*. $$
[証明] 前定理から $$ A\x=0 \iff A^*\x=0. $$
定理
$A\in M_n(\C)$ を正規行列とする.
$\l \in \C$ が $A$ の固有値ならば,
$\ol{\l}$ は $A^*$ の固有値である. さらに, $\x\in \C^n$ に対し,
$$ A\x=\l\x \ \ \iff \ \ A^*\x=\ol{\l}\x. $$
[証明] $A-\l I$ は正規であることが確かめられる. ゆえに前定理により $$ \Ker (A-\l I) = \Ker (A-\l I)^*. $$
定理
正規行列の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する.
[証明] $A\in M_n(\C)$ を正規行列とする. $$ A\x=\a\x,\ \ \ A\y=\b\y,\ \ \ \a \neq \b,\ \ \ \x \neq \0,\ \ \ \y \neq \0 $$ となる $\a,\b\in \C, \ \x,\y\in \C^n$ をとる. 前定理により, $$ \a(\x,\y)=(\a \x,\y)=(A\x,\y) =(\x,A^*\y)=(\x,\ol{\b}\y)=\b(\x,\y). $$ よって $(\x,\y)=0.$
正規行列はユニタリ行列によって対角化される
定理
$A\in M_n(\C)$ とする. このとき,
$A$ が正規行列 $\iff$
$A$ はあるユニタリ行列によって対角化される.
- ▼ 証明
-
[証明]
$(\goo)$ まず $n=3$ の場合を示す.
三角化定理(参照：行列の三角化)から, あるユニタリ行列 $U$ によって
$$ B:=U^*AU=
\m{ b_{11} & b_{12} & b_{13}
\cr 0 & b_{22} & b_{23}
\cr 0 & 0 & b_{33} }
$$
という上三角行列ができる. ($U^*=U^{-1}$ に注意.) ゆえに
$$ B^*=U^*A^*U=
\m{ \ol{b}_{11} & 0 & 0
\cr \ol{b}_{12} & \ol{b}_{22} & 0
\cr \ol{b}_{13} & \ol{b}_{23} & \ol{b}_{33} }
$$
という下三角行列ができる. $A$ は正規行列なので
$$\eq{
B^*B & =(U^*A^*U)(U^*AU)=U^*A^*AU=U^*AA^*U
\\[2pt] & =(U^*AU)(U^*A^*U)=BB^*.
}$$
ゆえに $B$ も正規行列である. 等式 $B^*B=BB^*$
について両辺の行列 $(1,1)$ 成分を比較すれば
$$\eq{
& \ol{b}_{11}b_{11} & =b_{11}\ol{b}_{11}
+b_{12}\ol{b}_{12}+b_{13}\ol{b}_{13}
\\ \iff & \hspace{20pt} 0 & =
|b_{12}|^2+|b_{13}|^2
\\ \iff & \hspace{20pt} 0 & = b_{12}=b_{13}.
}$$
同様に $(2,2)$ 成分を比較すれば
$$\eq{
& \ol{b}_{22}b_{22} & =b_{22}\ol{b}_{22}+b_{23}\ol{b}_{23}
\\ \iff & \hspace{20pt} 0 & = |b_{23}|^2
\\ \iff & \hspace{20pt} 0 & = b_{23}.
}$$
ゆえに
$$ b_{12}=b_{13}=b_{23}=0 $$
を得る. よって $B$ は対角行列である.
一般の場合も同様である.
$(\coo)$ $A$ がユニタリ行列 $U$ によって対角化されたとし, その対角行列を $T=U^{-1}AU$ とおく. $U^{-1}=U^*$ であるから, $$T=U^*AU $$ と表そう. $T$ は対角行列なので, $T^*$ も対角行列である. したがって, $$ TT^*=T^*T. $$ ゆえに $T^*=U^*A^*U$ および $UU^*=I$ を用いれば, $$\eq{ U^*AA^*U & =(U^*AU)(U^*A^*U)=TT^*=T^*T \\[2pt] & =(U^*A^*U)(U^*AU)=U^*A^*AU. }$$ よって $AA^*=A^*A.$