商位相

定義

定義
$(X,\O)$ を位相空間とし, $Y$ を集合とする.
$f:X\to Y$ を全射とする.
$Y$ の部分集合族 $\O(f)$ を
$\ \ \ \O(f)=\{H \subset Y\mid f^{-1}(H)\in \O\}$
によって定義する.
$\O(f)$ は位相の３条件を満たす.
この位相 $\O(f)$ を, 全射 $f$ により定まる集合 $Y$ の商位相 (quotient topology)という.
位相空間 $(Y,\O(f))$ のことを商空間 (quotient space)という.

問題
$\O(f)$ が位相の３条件を満たすことを示せ.

▼ 解答: [解答]
$f^{-1}(\emp)=\emp$ と $f^{-1}(Y)=X$ より, $\emp, Y\in \O(f).$

$U,V\in \O(f)$ とすると,
$\ \ \ f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)\in \O$
より, $U\cap V\in \O(f).$

各 $\l\in \Lambda$ に対して, $U_\l\in \O(f)$ とすると,
$\ \ \ f^{-1}(\bigcup_{\l\in\Lambda}U_\l) =\bigcup_{\l\in\Lambda}f^{-1}(U_\l)\in \O$
より, $\bigcup_{\l\in\Lambda}U_\l \in \O(f).$
[終了]

特に, $Y=X/\!\sim$ の場合を考える.
なぜ, はじめから $X/\!\sim$ でなく一般的な $Y$ で商位相を定義したかというと, そのほうが上記の $\O(f)$ が位相になることをチェックしやすいからである.

定義
$(X,\O)$ を位相空間とし, $X$ に同値関係 $\sim$ が与えられているとする.
自然な全射 $p:X\to X/\!\sim$ によって, 商空間 $(X/\!\sim,\O(p))$ が定義できる.
この商空間を同値関係 $\sim$ による $X$ の商空間という.

商写像の定義

定義
$(X,\O),(Y,\O')$ を位相空間とし, $f:X\to Y$ を全射とする.
$\O'=\O(f)$ であるとき, すなわち, $Y$ の各部分集合 $H$ に対して, $\ \ \ f^{-1}(H)\in\O\iff H\in \O'$
であるとき, $f$ を商写像 (quotient map)という.
この定義から明らかなように, 商写像は連続写像である.

性質

開写像ならば連続である

定理 [内田定理20.1]
$(X,\O),(Y,\O')$ を位相空間とする.
全射 $f:X\to Y$ が連続かつ開写像ならば, $f$ は商写像である.

[証明]
$f$ は全射なので, $Y$ の各部分集合 $H$ に対して,
$\ \ \ f(f^{-1}(H))=H$
が成り立つ.
$f^{-1}(H)\in \O$ と仮定する.
$f$ が開写像であれば, $f(f^{-1}(H))=H\in \O$ なので, $\O(f)\subset \O'.$
一方で, $f$ の連続性から, $\O'\subset \O(f)$ である.
よって, $\O'=\O(f)$ なので, $f$ は商写像である.
[終了]

合成写像と商写像

次の定理は便利である.

定理 [内田定理20.2]
$(X_1,\O_1),\ (X_2,\O_2),\ (X_3,\O_3)$ を位相空間とする.
$f:X_1\to X_2$ と $g:X_2\to X_3$ を写像とする.
$f$ が商写像であり, $g\circ f$ が連続であるならば, $g$ は連続である.

[証明]
$H$ を $X_3$ の開集合とする.
$g^{-1}(H)$ が $X_2$ の開集合であることを示せばよい.
$g\circ f$ の連続性から, $f^{-1}(g^{-1}(H))$ は $X_1$ の開集合である.
$f$ は開写像であるから
$\ \ \ f(f^{-1}(g^{-1}(H)))=g^{-1}(H)$
は $X_2$ の開集合である.
[終了]

$X$ が性質 $P$ を持つならば $X/\!\sim$ は？

位相空間論では次のような問題がある.
位相空間 $X$ が位相的性質 $P$ を持つならば, その商空間 $X/\!\sim$ も性質 $P$ を持つか？

連結空間の商空間は連結

定理
位相空間 $X$ が連結ならば, その商空間 $X/\!\sim$ も連結である.

[証明]
自然な全射 $p:X\to X/\sim$ は連続である.
連結位相空間の連続像は連結であるので, $X$ が連結ならば, その全射像 $X/\!\sim$ も連結である.
[終了]

特に, 全射連続写像 $S^n\to S^n/\sim =\P^n$ があることが知られている(※[松本]を参照せよ.)ので, $\P^n$ は連結である.
ここで, $S^n$ は $n$ 次元球面, $\P_n$ は実射影空間である.

なお, 位相空間が弧状連結の場合も, その商空間は弧状連結であることが知られている.

コンパクト空間の商空間はコンパクト

定理
位相空間 $X$ がコンパクトならば, その商空間 $X/\sim$ もコンパクトである.

[証明]
自然な全射 $p:X\to X/\sim$ は連続である.
コンパクト位相空間の連続像はコンパクトであるので, $X$ がコンパクトならば, その全射像 $X/\!\sim$ もコンパクトである.
[終了]

連結のところでの説明と同様にすれば, 実射影空間 $\P^n$ はコンパクトであることが示せる.

ハウスドルフ空間の商空間は必ずしもハウスドルフでない

一方で, ハウスドルフ空間の商空間は必ずしもハウスドルフにならない.
(この事実から, 位相空間論ではハウスドルフ空間の範囲だけで考えるのは不十分である.)

例
$\R$ に対して, 次の同値関係 $\sim$ を入れる.
実数 $a,b$ に対して, $a-b\in \Q$ のとき, $a\sim b$ とする.
このとき, 商空間 $X/\!\sim$ はハウスドルフでない.

[証明]
$X/\!\sim$ はハウスドルフであると仮定する.
ハウスドルフの性質より, １点集合は閉集合である.
従って, $\{\ol{0}\}$ は $X/\!\sim$ の閉集合である.
自然な全射 $p:X\to X/\!\sim$ は商写像なので連続である.
ゆえに, $p^{-1}(\{\ol{0}\})=\Q$ は $\R$ の閉集合である.
ところが, $\Q$ は $\R$ の閉集合でないので矛盾する.
[終了]

なお, 単連結な空間の商空間は必ずしも単連結でない.
例えば, 正方形は単連結であるが, 同値関係によってドーナツにすると単連結でなくなる.

商位相

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