ユニタリ行列

$ \def\no#1{\|#1\|} $

この記事では, ユニタリ行列について次の性質を証明します。

定義

定義
$U\in M_n(\C)$ がユニタリ行列(unitary matrix)であるとは, $$ U^* U=I $$ を満たすことである. ただし $I$ は単位行列.

※$U^* U=I$ ならば $U^*=U^{-1}$ により, $UU^*=I$ である.

例
次の行列 $U\in M_2(\C)$ はユニタリ行列である. $$ U= \m{ a & b \cr -\ol{b} & \ol{a} },\ \ \ \ \ (|a|^2+|b|^2=1). $$

[証明]  $$ U^*U= \m{ \ol{a} & -b \cr \ol{b} & a } \m{ a & b \cr -\ol{b} & \ol{a} }=I. $$

性質

定理
$U\in M_n(\C)$ に対し, 次の３つは互いに同値である：
(1) $U$ はユニタリ行列.
(2) $U$ は計量を保つ： $$ (Ux,Uy)=(x,y) \ \ \ \ \ (x,y\in \C^n) $$ (3) $U$ は長さを保つ： $$ \no{Ux}=\no{x} \ \ \ \ \ (x\in \C^n) $$

[証明]  (1) $\goo$ (2)：$U^*U=I$ により, $$ (Ux,Uy)=(x,U^*Uy)=(x,y). $$ (2) $\goo$ (3)：$y=x$ とすればよい.
(3) $\goo$ (1)： $$ (U^*Ux,x)=(Ux,Ux)=\no{Ux}^2=\no{x}^2=(Ix,x). $$ $x\in \C^n$ は任意なので $U^*U=I.$

定理
$U\in M_n(\C)$ に対し, 次の３つは互いに同値である：
(1) $U$ はユニタリ行列.
(2) $U$ の列ベクトル全体は $\C^n$ の正規直交基底である.
(3) $U$ の行ベクトル全体は $\C^n$ の正規直交基底である.

[証明]  $\def\u{\bm{u}}$ 次のように $U$ の列ベクトル表示, $U$ の行ベクトル表示を考える： $$ U=(\u_1 \cd \u_n),\ \ \ \ \ U=\m{ \u_1' \\ \vdots \\ \u_n' } $$ (1) $\iff$ (2)：$A$ の列ベクトル表示で考えれば, $$\eq{ U \text{はユニタリ} & \iff U^*U=I \\ & \iff (\u_i,\u_j)=\del_{ij} \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff \u_1, \cd, \u_n \ \text{は $\C^n$ の正規直交基底} }$$ (1) $\iff$ (3)：$A$ の行ベクトル表示で考えれば, $$\eq{ U \text{はユニタリ} & \iff UU^*=I \\ & \iff (\u_i',\u_j')=\del_{ij} \ \ \ (1\leq i,j\leq n) \\ & \iff \u_1', \cd, \u_n' \ \text{は $\C^n$ の正規直交基底} }$$

ユニタリ行列の固有値

定理
ユニタリ行列の固有値は絶対値が $1$ である.

▼ 証明

[証明]  $U\in M_n(\C)$ をユニタリ行列とする. $U\x=\l \x\ (\x\neq 0)$ ならば, $$\eq{ \l(\x,\x) & =(\l \x,\x)=(U\x,\x)=(\x,U^*\x) \\ & =(\x,U^{-1}\x)=(\x,\l^{-1}\x)=\ol{\l^{-1}}(\x,\x). }$$ ゆえに $\l=1/\ol{\l}.$ よって $|\l|=1.$

問題

問題
$U\in M_n(\C)$ がユニタリ行列ならば, $|\det(U)|=1$ であることを示せ.

▼ 解答

[解答]  $$ \ol{\det(U)}=\det(\ol{U}) =\det({}^t\ol{U})=\det(U^*) $$ なので, $$ |\det(U)|^2=\det(U)\ol{\det(U)}=\det(U)\det(U^*) =\det(UU^*)=\det(I)=1. $$ ゆえに $|\det(U)|=1.$

問題
$A,B\in M_n(\C)$ がユニタリ行列ならば, $AB, A^{-1}$ もユニタリ行列であることを示せ.

▼ 解答

[解答]  $A^* A=I,\ \ B^*B=I$ なので, $$ (AB)^*(AB)=(B^*A^* )(AB) =B^*(A^* A)B=B^*B=I. $$ $$ (A^{-1})^*A^{-1}=(A^*)^{-1}A^{-1} =(AA^*)^{-1}=I^{-1}=I. $$