部分群

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この記事では、部分群の例を紹介します。

定義

定義
群 $G$ の空でない部分集合 $H$ が
(i) $a,b\in H$ ならば $ab\in H.$
(ii) $a\in H$ ならば $a^{-1}\in H.$
を満たすとき, $H$ を $G$ の部分群(subgroup)という.

つまり, $H$ が $G$ の部分群であるとは, 二項演算と逆元をとる操作が $H$ 内で閉じていることである.

性質

定理
群 $G$ の空でない部分集合 $H$ に対して, 次は同値である.
(1) $H$ は $G$ の部分群である.
(2) $a,b\in H$ ならば $ab^{-1}\in H.$

[証明]  (1) $\go$ (2) $a,b\in H$ ならば $a,\ b^{-1}\in H$ なので $ab^{-1}\in H.$
(2) $\go$ (1) $H$ は空でないから, $x\in H$ を１つとれる. 仮定により, $e=xx^{-1}\in H.$ なので $H$ は単位元をもつ.
したがって, (i) $a\in H$ ならば $e,a\in H$ なので $ea^{-1}\in H.$ すなわち $a^{-1}\in H.$
他方 (ii) $a,b\in H$ ならば $a,b^{-1}\in H$ なので $a(b^{-1})^{-1} \in H.$ すなわち $ab \in H.$
よって $H$ は $G$ の部分群である.

定理
$G$ を群とし, $H_1,H_2$ をその部分群とする. このとき, 共通部分 $H_1\cap H_2$ は $G$ の部分群である.

[証明]  $a,b\in H_1\cap H_2$ ならば, $a,b\in H_1$ であるから, 部分群の性質より, $ab^{-1}\in H_1$ である. 同様にして, $ab^{-1}\in H_2.$ よって, $ab^{-1}\in H_1\cap H_2$ なので, $H_1\cap H_2$ は $G$ の部分群である.

例

例
(1) $\{1, -1\}$ は乗法群 $\R^*$ の部分群である.
(2) $\{1, i, -1, -i\}$ は乗法群 $\C^*$ の部分群である.
(3) $\Q^*$ は乗法群 $\R^*$ の部分群である.

例
$\Z$ は加法群 $\Q$ の部分群である.

例
交代群 $A_n$ は対称群 $S_n$ の部分群である.

例
$S_n$ の偶置換すべての集合は $S_n$ の部分群をなす. この群を $n$ 次交代群(alternating group)といい, $A_n$ で表す.

例
特殊線形群 $$ \SL_n(\R)=\{ A \in M_n(\R) \mid \det A=1 \} $$ は一般線形群 $\GL_n(\R)$ の部分群である.

[証明]  各 $A,B\in \SL_n(\R)$ に対して, $$ \det(AB^{-1})=\det(A)\det(B^{-1})=1\c 1=1. $$ 従って $AB^{-1}\in \SL_n(\R).$ ゆえに $\SL_n(\R)$ は $\GL_n(\R)$ の部分群である.

問題

問題
直交群 $O(n)$ は一般線形群 $\GL_n(\R)$ の部分群であることを示せ.

▼ 解答

[解答]  各 $A,B\in O(n)$ に対して, $$ {}^t(AB^{-1})(AB^{-1})={}^tB^{-1}({}^tAA)B^{-1} ={}^tB^{-1}B^{-1}=I. $$ 従って, $AB^{-1}\in O(n)$ なので, $O(n)$ は $\GL_n(\R)$ の部分群である.

問題
群 $G$ の部分群 $H,K$ に対して, 積 $HK$ が $G$ の部分群になるための必要十分条件は $HK=KH$ であることを示せ.

▼ 解答

[解答]  $HK=KH$ であれば, $hk,h'k'\in HK, h,h'\in H, k,k'\in K$ に対して, $$ (hk)^{-1}(h'k')=k^{-1}(h^{-1}h')k'\in KHK=HKK=HK$$ となるから $HK$ は $G$ の部分群である. 逆に $HK$ が $G$ の部分群であれば $$ HK=(HK)^{-1}=K^{-1}H^{-1}=KH $$ となる.